Question

已知函数f（x）＝ex－ax－1（e为自然对数的底数），a＞0．

（1）若函数f（x）恰有一个零点，证明：aa＝ea－1；

（2）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合．

 

Answer 1

（1）见解析；（2）{1}.

【解析】

试题分析：（1）先判断f（x）的单调性，根据“f（x）前有一个零点”，找到关于a的等式，化简整理可得需证结论；（2）根据（1），只需f（x）的最小值不小于0即可.

试题解析：（1）证明： 由，得．

由＞0，即＞0，解得x＞lna，同理由＜0解得x＜lna，

∴ f（x）在（－∞，lna）上是减函数，在（lna，＋∞）上是增函数，

于是f（x）在x＝lna取得最小值．

又∵ 函数f（x）恰有一个零点，则，

即．

化简得：，

∴ ．

（2）【解析】
由（1）知，在取得最小值，

由题意得≥0，即≥0，

令，则，

由可得0＜a＜1，由可得a＞1．

∴ h（a）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，即，

∴ 当0＜a＜1或a＞1时，h（a）＜0，

∴ 要使得f（x）≥0对任意x∈R恒成立，a＝1

∴ a的取值集合为{1}

考点：导数，函数的零点，恒成立问题