Question

2．已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长$\sqrt{2}$，且其外接球的面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为（　　）

• A． $\sqrt{14}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{6}$
• D． 3

Answer 1

分析 由于直三棱柱ABC-A₁B₁C1的底面ABC为等腰直角三角形，我们可以把直三棱柱ABC-A₁B₁C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，利用外接球的表面积公式求出外接球的直径，即可求出该三棱柱的侧棱长．

解答 解：由于直三棱柱ABC-A₁B₁C1的底面ABC为等腰直角三角形，
把直三棱柱ABC-A₁B₁C1补成正四棱柱，
则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，
因为外接球的面积是16π，所以外接球半径为2，
因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长$\sqrt{2}$，
所以该三棱柱的侧棱长为$\sqrt{16-2}$=$\sqrt{14}$
故选：A．

点评 在求一个几何体的外接球表面积（或体积）时，关键是求出外接球的半径，我们通常有如下办法：①构造三角形，解三角形求出R；②找出几何体上到各顶点距离相等的点，即球心，进而求出R；③将几何体补成一个长方体，其对角线即为球的直径，进而求出R．