Question

12．化简并计算：
（1）sin50°（1+$\sqrt{3}$tan10°）；
（2）已知cos（α-$\frac{β}{2}$）=-$\frac{1}{3}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），sin（$\frac{α}{2}$-β）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，β∈（0，$\frac{π}{2}$），求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．
（2）求出所求角的范围，利用两角和与差的三角函数，化简求解即可．

解答 解：（1）课本P146，5（4）
sin50°（1+$\sqrt{3}$tan10°）
=$sin50°[1+\sqrt{3}\frac{sin10°}{cos10°}]$
=sin50°$\frac{cos10°+\sqrt{3}sin10°}{cos10°}$
=sin50°$\frac{2sin（30°+10°）}{cos10°}$
=$\frac{2sin50°sin40°}{cos10°}$
=$\frac{sin80°}{cos10°}$=1；
…（5分）
（2）∵$α∈（\frac{π}{2}，π），β∈（0，\frac{π}{2}）$
∴$α-\frac{β}{2}∈（\frac{π}{4}，π）$，
∴$sin（α-\frac{β}{2}）=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$…（7分）
$又\frac{α}{2}-β∈（-\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，∴$cos（\frac{α}{2}-β）=\sqrt{1-\frac{6}{9}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…9分
∵$cos[（α-\frac{β}{2}）-（\frac{α}{2}-β）]=cos（\frac{α+β}{2}）=（-\frac{1}{3}）\frac{{\sqrt{3}}}{3}+\frac{{2\sqrt{2}}}{3}\frac{{\sqrt{6}}}{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（11分）
∴$cos（α+β）=2{cos^2}（\frac{α+β}{2}）-1=-\frac{1}{3}$…（12分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数基本关系式，二倍角公式的应用，考查计算能力．