Question

如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 m²，问当a，b各为多少时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)？

Answer 1

答案：
解析：

答：当a＝6 m，b＝3 m时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小． 　　解：方法一：设流出的水中杂质的质量分数为y， 　　由题意y＝，其中k为比例系数(k＞0)， 　　又根据题设2×2b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)， 　　∴b＝(由a＞0，b＞0可得a＜30)． 　　∴y＝＝． 　　令t＝a＋2，则a＝t＋2． 　　从而＝34－(t＋)． 　　∴y＝≥ 　　当且仅当t＝，即a＋2＝时取等号，此时a＝6． 　　由a＝6可得b＝3． 　　综上所述，当a＝6m，b＝3m时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小． 　　方法二：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y＝，其中k为比例系数(k＞0)．要求y的最小值，必须求解ab的最大值． 　　依题意设4b＋2ab＋2a＝60，即ab＋a＋2b＝30(a＞0，b＞0)． 　　∵a＋2b≥(当且仅当a＝2b时取等号)， 　　∴ab＋≤30，可解得0＜ab≤18． 　　由a＝2b及ab＋a＋2b＝30，可得a＝6，b＝3． 　　思路分析：题中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y．由题意y与ab成反比，又设比例系数为k，则y＝．又由于箱体材料多少的限制，a，b之间应有一定的关系式，即2×(2b)＋2ab＋2a＝60，因此该题的数学模型是：已知ab＋a＋2b＝30，a＞0，b＞0，求：a，b为何值时，y＝最小．