Question

7．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{|x|}$．
（1）求解不等式f（x）≥2x；
（2）$\frac{1}{{x}^{2}}$+x²+2mf（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，求m的取值范围；
（3）设函数g（x）=x²+（-3+c）x+c²，若方程g（f（x））=0有6个实根，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对x讨论，分x＞0，x＜0，由分式不等式的解法，即可得到解集；
（2）由题意可得$\frac{1}{{x}^{2}}$+x²+2m（x+$\frac{1}{x}$）≥0在x∈[1，2]上恒成立，即有（x+$\frac{1}{x}$）²-2+2m（x+$\frac{1}{x}$）≥0，令t=x+$\frac{1}{x}$，2≤t≤$\frac{5}{2}$，可得t²+2mt-2≥0，再由参数分离和函数的单调性，可得不等式的右边的最大值，可得m的范围；
（3）可令t=f（x），则g（t）=0，即有方程t=f（x）有6个实根，作出f（x）的图象，可得当x＞0时，f（x）有最小值2，
则方程g（t）=0有两个大于2的不等实根，由二次方程实根分布解决方法，可得判别式大于0，g（2）大于0，对称轴大于2，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）f（x）≥2x，当x＞0时，x+$\frac{1}{x}$≥2x，
即有x-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-1）（x+1）}{x}$≤0，解得0＜x≤1；
当当x＜0时，x-$\frac{1}{x}$≥2x，
即为x+$\frac{1}{x}$=$\frac{1+{x}^{2}}{x}$≤0，解得x＜0．
故原不等式的解集为{x|x≤1且x≠0}；
（2）$\frac{1}{{x}^{2}}$+x²+2mf（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，
即为$\frac{1}{{x}^{2}}$+x²+2m（x+$\frac{1}{x}$）≥0在x∈[1，2]上恒成立，
即有（x+$\frac{1}{x}$）²-2+2m（x+$\frac{1}{x}$）≥0，
令t=x+$\frac{1}{x}$，2≤t≤$\frac{5}{2}$，可得t²+2mt-2≥0，
即有m≥$\frac{1}{t}$-$\frac{t}{2}$，
令h（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{t}{2}$，h′（t）=-$\frac{1}{{t}^{2}}$-$\frac{1}{2}$＜0，
则h（t）为单调递减函数，
则h（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{t}{2}$≤h（2）=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
即有m≥-$\frac{1}{2}$；
（3）函数g（x）=x²+（-3+c）x+c²，
若方程g（f（x））=0有6个实根，
可令t=f（x），则g（t）=0，
即有方程t=f（x）有6个实根，
作出f（x）的图象，如右：
当x＞0时，f（x）有最小值2，
则t＞2，
方程g（t）=0有两个大于2的不等实根，
则$\left\{\begin{array}{l}{△=（c-3）^{2}-4{c}^{2}＞0}\\{g（2）={c}^{2}+2c-2＞0}\\{\frac{3-c}{2}＞2}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{-3＜c＜1}\\{c＞\sqrt{3}-1或c＜-\sqrt{3}-1}\\{c＜-1}\end{array}\right.$，
可得-3＜c＜-$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查不等式的解法和恒成立问题的解法，以及方程根的分布情况，注意运用分类讨论和分离参数、以及数形结合的思想方法，考查化简运算能力，属于难题．