Question

设f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（-3）=0，则（x-1）•f（x）＜0的解集是（　　）

A．{x|-3＜x＜0或1＜x＜3}

B．{x|1＜x＜3}

C．{x|x＞3或x＜-3}

D．{x|x＜-3或x＞1}

Answer 1

分析：利用函数奇偶性和单调性之间的关系得到不等式f（x）＞0和f（x）＜0的解，然后将不等式（x-1）•f（x）＜0转化为

x-1＞0 f(x)＜0

或

x-1＜0 f(x)＞0

，进行求解．

解答：解：∵f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，
∴f（x）在（-∞，0）内是增函数，
∵f（-3）=-f（3）=0，
∴f（3）=0．
则当-3＜x＜0或x＞3时，f（x）＞0，
当0＜x＜3或x＜-3时，f（x）＜0，
则不等式（x-1）•f（x）＜0等价为：

x-1＞0 f(x)＜0

①或

x-1＜0 f(x)＞0

，②
由①得

x-1＞0 0＜x＜3或x＜-3

，即

x＞1 0＜x＜3或x＜-3

解得1＜x＜3．
由②得

x-1＜0 -3＜x＜0或x＞3

即

x＜1 -3＜x＜0或x＞3

解得-3＜x＜0．
综上：1＜x＜3或-3＜x＜0．
故不等式的解集为：（1，3）∪（-3，0）．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键．