Question

4．设当x=θ时，函数f（x）=2sinx-cosx取得最大值，则sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，根据当x=θ时f（x）取得最大值，建立关系．利用和与差公式或者诱导公式即可得解．

解答 解：函数f（x）=2sinx-cosx
化简可得：$f（x）=\sqrt{5}（{sinx•\frac{2}{{\sqrt{5}}}-cosx•\frac{1}{{\sqrt{5}}}}）=\sqrt{5}sin（{x-{θ_0}}）$，
（其中$cos{θ_0}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}，sin{θ_0}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}，{θ_0}$是锐角），
由题意：sin（x-θ₀）=1．
法一：sinθ=sin[（θ-θ₀）+θ₀]=sin（θ-θ₀）cosθ₀+cos（θ-θ₀）sinθ₀=$1×\frac{2}{{\sqrt{5}}}+0×\frac{1}{{\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
法二：∵sin（x-θ₀）=1．
∴$θ-{θ_0}=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，$sinθ=sin（{{θ_0}+\frac{π}{2}+2kπ}）=cos{θ_0}$=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．