Question

14．根据下列条件，判断解三角形的情况
（1）a=14，b=16，A=45°；
（2）a=12，c=15，A=120°；
（3）a=8，b=16，A=30°；
（4）b=18，c=20，B=60°．

Answer 1

分析 （1）由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a小于b得到A小于B，可得出此时B有两解；
（2）由a小于c，得到A小于C，由A为钝角，得到C也为钝角，不能构成三角形，可知此三角形无解；
（3）由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB=1，可得B=$\frac{π}{2}$，即三角形一个解；
（4）利用正弦定理求出sinC=$\frac{csinB}{b}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，可求C有锐角和钝角两种解．

解答 解：（1）∵a=14，b=16，A=45°，
∴由正弦定理得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{16×\frac{\sqrt{2}}{2}}{14}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵a＜b，∴45°=A＜B，
∴B有两解；
（2）由a=12，c=15，得到a＜c，
有A＜C，而A=120°，得到C也为钝角，
则此三角形无解；
（3）∵a=8，b=16，A=30°，
∴sinB=$\frac{bsinA}{a}$=1，
∴B=$\frac{π}{2}$，故三角形一个解；
（4）∵b=18，c=20，B=60°．
∴sinC=$\frac{csinB}{b}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，
∵0＜C＜π，故C有锐角和钝角两种解．

点评 此题考查了正弦，三角形的边角关系，以及三角形的内角和定理，正弦函数的图象和性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．