Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，左顶点、上顶点分别为A，B，△OAB的面积为3（点O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P、Q分别是AB、椭圆C上的动点，且$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$（λ＜0），求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，s_△OAB=$\frac{1}{2}ab$=3，a²-b²=c²，求得a²，b²即可．
（2）由（1）得直线AB的方程为：2x-3y+6=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{2x-3y+6=0}\end{array}\right.$得P（$\frac{6}{3k-2}$，y₁）．由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{4{x}^{2}+9{y}^{2}=36}\end{array}\right.$得Q（$\frac{6}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}$，y₂）
由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$（λ＜0）得λ=$\frac{\sqrt{9{k}^{2}+4}}{3k-2}$=-$\sqrt{\frac{9{k}^{2}+4}{9{k}^{2}+4-12k}}=-\sqrt{\frac{9{k}^{2}+4-12k+12k}{9{k}^{2}+4-12k}}$=-$\sqrt{1+\frac{12k}{9{k}^{2}+4-12k}}=-\sqrt{1+\frac{12}{9k+\frac{4}{k}-12}}$即可求解．

解答 解：（1）∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，s_△OAB=$\frac{1}{2}ab$=3，a²-b²=c²∴a²=9，b²=4．
椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）由（1）得A（-3，0），B（0.2），∴直线AB的方程为：2x-3y+6=0．
∵P、Q分别是AB、椭圆C上的动点，且$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$（λ＜0），∴P、O、Q三点共线，
设直线PQ的方程为：y=kx （k＜0）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{2x-3y+6=0}\end{array}\right.$得P（$\frac{6}{3k-2}$，y₁）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{4{x}^{2}+9{y}^{2}=36}\end{array}\right.$得Q（$\frac{6}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}$，y₂）
由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$（λ＜0）得$\frac{6}{3k-2}=λ\frac{6}{\sqrt{9{k}^{2}+4}}$
λ=$\frac{\sqrt{9{k}^{2}+4}}{3k-2}$=-$\sqrt{\frac{9{k}^{2}+4}{9{k}^{2}+4-12k}}=-\sqrt{\frac{9{k}^{2}+4-12k+12k}{9{k}^{2}+4-12k}}$
=-$\sqrt{1+\frac{12k}{9{k}^{2}+4-12k}}=-\sqrt{1+\frac{12}{9k+\frac{4}{k}-12}}$
∵k＜0∴9k+$\frac{4}{k}≤-12$，∴-1＜λ＜≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当直线PQ的斜率为0或不存在时，λ=-1，
综上：实数λ的取值范围：[-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系，用斜率表示出参数是关键，属于中档题．