Question

7．在平面直角坐标系xOy中，以点A（2，0），曲线y=$\sqrt{1-{x^2}}$上的动点B，第一象限内的点C，构成等腰直角三角形ABC，且∠A=90°，则线段OC长的最大值是1+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设B（cosθ，sinθ），0≤θ≤π，C（m，n）（m，n＞0），运用两点的距离公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得m，n的方程，解方程可得C的坐标，运用两点的距离公式，化简整理，运用正弦函数的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：曲线y=$\sqrt{1-{x^2}}$是以O为圆心，1为半径的上半圆，
可设B（cosθ，sinθ），0≤θ≤π，C（m，n）（m，n＞0），
由等腰直角三角形ABC，可得
AB⊥AC，即有$\frac{n}{m-2}$•$\frac{sinθ}{cosθ-2}$=-1，①
|AB|=|AC|，即有$\sqrt{（m-2）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{（cosθ-2）^{2}+si{n}^{2}θ}$，
即为（m-2）²+n²=（cosθ-2）²+sin²θ，②
由①②解得m=2+sinθ，n=2-cosθ，
或m=2-sinθ，n=cosθ-2（舍去）．
则|OC|=$\sqrt{（2+sinθ）^{2}+（2-cosθ）^{2}}$
=$\sqrt{8+si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ+4sinθ-4cosθ}$
=$\sqrt{9+4\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）}$，
当θ-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{3π}{4}$∈[0，π]，取得最大值$\sqrt{9+4\sqrt{2}}$=1+2$\sqrt{2}$．
故答案为：1+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查两点的距离公式的运用，考查圆的参数方程的运用，以及两直线垂直的条件：斜率之积为-1，同时考查正弦函数的值域，以及运算能力，属于中档题．