Question

图为一简单集合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．
（1）画出该几何体的三视图；
（2）求四棱锥B-CEPD的体积；
（3）求证：BE∥平面PDA．

Answer 1

分析：（1）由已知中底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．根据三视图的定义，易得到该几何体的三视图；
（2）由已知中PD⊥平面ABCD，且PD=AD=2EC=2，我们计算出棱锥的底面面积和高，代入棱体积公式，即可求出四棱锥B-CEPD的体积；
（3）由已知中EC∥PD，我们可证得EC∥平面PDA，同理可证BC∥平面PDA，即平面BCE∥平面PDA，再结合面面平行的性质即可得到BE∥平面PDA．

解答：解：（1）该组合体的主视图和侧视图如图示：（3分）
（2）∵PD平面ABCD，PD?平面PDCE
∴平面PDCE⊥平面ABCD
∵BC⊥CD
∴BC⊥平面PDCE（5分）
∵S_PCDE=

1

2

（PD+EC）•DC=3（6分）
∴四棱锥B-CEPD的体积
V=

1

3

•S_PCDE•BC=2．（8分）
证明：（3）∵EC∥PD，PD?平面PDA，
EC?平面PDA
∴EC∥平面PDA，（10分）
同理可得BC∥平面PDA（11分）
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC且EC∩C=C
∴平面BEC∥平面PDA（13分）
又∵BE?平面EBC
∴BE∥平面PDA（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，简单空间图形的三视图，棱锥的体积，熟练掌握空间几何图形的几何特征，三视图的定义及画法，棱锥的体积公式及线面平行与面现平行的相互转化是解答本题的关键．