Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

（n∈N₊）．
（1）试猜想并证明这个数列的通项公式；
（2）记b_n=

2

an

+

2

-1，求证：数列{b_n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列的递推关系，先求出数列的前几项，即可猜想并证明这个数列的通项公式；
（2）根据等比数列的定义进行判断即可．

解答： 解：（1）在数列{a_n}中，∵a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

（n∈N₊），
∴a₁=1=

2

2

，
a₂=

2a1

2+a1

=

2

2+1

，
a₃=

2a2

2+a2

=

2

3+1

，
a₄=

2a3

2+a3

=

2

4+1

，
a₅=

2a4

2+a4

=

2

5+1

，…，
∴可以猜想，这个数列的通项公式是a_n=

2

n+1

．
证明：∵a_n+1=

2an

2+an

（n∈N₊），
∴2a_n+1+a_n+1•a_n=2a_n（n∈N₊），
∴

1

an+1

-

1

an

=

1

2

（n∈N₊），
∴{

1

an

}是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列．
∴

1

an

=1+

1

2

（n-1），
∴a_n=

2

n+1

．
（2）由（1）得b_n=

2

an

+

2

-1=n+

2

．
假设数列{b_n}中存在三项b_p，b_q，b_r（p，q，r是互不相等正整数）成等比数列，则

b

2 q

=b_pb_r，
即 （q+

2

）²=（p+

2

）（r+

2

），
∴（q²-pr）+（2q-p-r）

2

=0．
∵p，q，r∈N^*，∴

q2-pr=0 2q-p-r=0.

∴（

p+r

2

）²=pr，（p-r）²=0，∴p=r，与p≠r矛盾．
∴数列{b_n}中任意不同的三项都不可能成等比数列．

点评：本题主要考查数列通项公式的求解，利用数列的递推关系以及等比数列的定义是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．