Question

3．在正四面体A-BCD中，有下列四个命题，其中真命题的个数为（　　）
①每组对棱异面垂直；
②连接每组对棱的中点，则这三线交于一点；
③在棱CD上至少存在一个点E，使∠AEB=$\frac{π}{2}$；
④正四面体的外接球的半径是其棱长的$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$倍．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用正四面体的特征，作图即可得到答案

解答 解：①正四面体A-BCD的高线中心正好在底面正三角形的三线合一“三等分”上，形成直角三角形，根据“三垂线定理”，每组对棱异面垂直；正确
②底面是正三角形，连接每组对棱的中点，刚好三线交于一点；正确
③只有到高线投影落在CD上时，才存在一个点E，使得∠AEB=$\frac{π}{2}$；而正四面体A-BCD的高线中心正好在底面正三角形的三线合一上，不可能在CD，不成立
④正四面体的外接球的半径是其棱长的$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$倍．正四面体球心在高线上，利用球心到各顶点的距离相等构造勾股定理即可找到关系．正确
所以：①②④正确
故答案为：C

点评 本题考查了正四面体特征和外接球的证明，由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的．难度不大，属于基础题．