Question

12．已知a，b均为正数，且a+b=1，那么$\frac{3}{a}+\frac{4}{b}$的最小值是$7+4\sqrt{3}$，此时$\frac{a}{b}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 本题属于基本不等式常规题型--换“1”法的应用．利用$\frac{3}{a}+\frac{4}{b}$=$（\frac{3}{a}+\frac{4}{b}）×1$=$（\frac{3}{a}+\frac{4}{b}）•（a+b）$ 来求解．

解答 解：由题意知：a＞0，b＞0，a+b=1
$\frac{3}{a}+\frac{4}{b}$=$（\frac{3}{a}+\frac{4}{b}）×1$
=$（\frac{3}{a}+\frac{4}{b}）•（a+b）$
=7+$\frac{3b}{a}+\frac{4a}{b}$
≥7+2$\sqrt{\frac{3b}{a}•\frac{4a}{b}}$
=7+4$\sqrt{3}$
当且仅当 $\frac{3b}{a}=\frac{4a}{b}$时，$\frac{3}{a}+\frac{4}{b}$取得最小值7+4$\sqrt{3}$．
∴令 $t=\frac{a}{b}＞0$，即有 $\frac{3}{t}=4t$⇒$t=±\frac{\sqrt{3}}{2}$（负舍）．
∴$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
故答案为：7+4$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$

点评 基本不等式换“1”法是解决不等式求最值得一种常用方法．