Question

20．已知定义在（0，∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）是连续不断的，若方程f'（x）=0无解，且?x∈（0，+∞），f[f（x）-log₂₀₁₅x]=2017，设a=f（2^0.5），b=f（log₄3），c=f（log_π3），则a，b，c的大小关系是a＞c＞b．

Answer 1

分析 根据题意得出f（x）是单调函数，得出f（x）-log₂₀₁₅x是定值；
设t=f（x）-log₂₀₁₅x，得f（x）=t+log₂₀₁₅x，
结合f（x）是单调增函数判断a，b，c的大小．

解答 解：∵方程f′（x）=0无解，
∴f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，
∴f（x）是单调函数；
由题意得?x∈（0，+∞），f[f（x）-log₂₀₁₅x]=2017，
又f（x）是定义在（0，+∞）的单调函数，
则f（x）-log₂₀₁₅x是定值，
设t=f（x）-log₂₀₁₅x，
则f（x）=t+log₂₀₁₅x，
∴f（x）是增函数，
又0＜log₄3＜log_π3＜1＜2^0.5，
∴a＞c＞b．
故答案为：a＞c＞b．

点评 本题考查了函数的单调性、对数函数的运算以及导数的应用问题，是综合题．