Question

20．已知各项均为正数的等比数列{a_n}的首项a₁=2，S_n为其前n项和，且2S₃=5S₁+3S₂．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，c_n=$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，记数列{c_n}的前n项和T_n，求$\frac{{T}_{n}}{n+4}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由等比数列的通项公式可知：2（a₁+a₁•q+a₁•q²）=5a₁+2（（a₁+a₁•q），即可求得q=2，求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知：b_n=log₂a_n=n，c_n=$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，采用“裂项法”即可求得数列{c_n}的前n项和T_n，由$\frac{T_n}{n+4}=\frac{n}{（n+1）（n+4）}$=$\frac{n}{{n}^{2}+5n+4}$=$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+5}$，由基本不等式的性质即可求得$\frac{{T}_{n}}{n+4}$的最大值．

解答 解：（1）∵2S₃=5S₁+3S₂，
∴2（a₁+a₁•q+a₁•q²）=5a₁+2（（a₁+a₁•q），…（1分）
整理得：2q²-q-6=0 …（2分）
解得：q=2或q=-$\frac{3}{2}$  …（3分）
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴q=-$\frac{3}{2}$不合题意…（4分）
∴{a_n}的通项公式为：a_n=2ⁿ；…（5分）
（2）由（1）可知：b_n=log₂a_n=n，…（6分）
∴c_n=$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，…（7分）
∴数列{c_n}的前n项和T_n=c₁+c₂+…+c_n，
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$  …（8分）
$\frac{T_n}{n+4}=\frac{n}{（n+1）（n+4）}$=$\frac{n}{{n}^{2}+5n+4}$=$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+5}$，…（9分）
∵n+$\frac{4}{n}$+5≥2$\sqrt{n•\frac{4}{n}}$+5=9，当且仅当n=$\frac{4}{n}$，即n=2时等号成立…（10分）
∴$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+5}$≤$\frac{1}{9}$ …（11分）
 $\frac{T_n}{n+4}$的最大值是$\frac{1}{9}$．…（12分）

点评 本题考查等比数列的通项公式及性质，考查“裂项法”求数列的前n项和，基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．