Question

若实数a，b，c成等差数列，点P（-1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，已知点N（3，3），则线段MN长度的最大值是

5+

2

．

Answer 1

分析：由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，整理后与直线方程ax+by+c=0比较发现，直线ax+by+c=0恒过Q（1，-2），再由点P（-1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，得到PM与QM垂直，利用圆周角定理得到M在以PQ为直径的圆上，由P和Q的坐标，利用中点坐标公式求出圆心A的坐标，利用两点间的距离公式求出此圆的半径r，线段MN长度的最大值即为M与圆心A的距离与半径的和，求出即可．

解答：解：∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，即a-2b+c=0，
可得方程ax+by+c=0恒过Q（1，-2），
又点P（-1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，
∴∠PMQ=90°，
∴M在以PQ为直径的圆上，
∴此圆的圆心A坐标为（

1-1

2

，

-2+0

2

），即A（0，-1），半径r=

1

2

|PQ|=

1

2

(1+1)2+(-2)2

=

2

，
又N（3，3），
∴|AN|=

32+(3+1)2

=5，
则|MN|_max=5+

2

．
故答案为：5+

2

点评：此题考查了等差数列的性质，恒过定点的直线方程，圆周角定理，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，利用等差数列的性质得到2b=a+c，即a-2b+c=0是解本题的突破点．