Question

5．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x_i和年销售量y_i（i=1，2，3，..8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\overline{w}$	$\sum_{i=1}^{n}$（xi-$\overline{x}$）2	$\sum_{i=1}^{n}$（wi-$\overline{w}$）2	$\sum_{i=1}^{n}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）	$\sum_{i=1}^{n}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$）
46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中：w_i=$\sqrt{{x}_{i}}$，$\overrightarrow{w}$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^{n}$w_i
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d$\sqrt{x}$，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据（II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂）…（u_n，v_n），其回归线$\widehat{v}$=$\widehat{α}$+$\widehat{β}$$\overline{u}$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （I）根据散点图的大体分布是否成直线分布判断；
（II）根据回归系数公式计算y关于ω的线性回归方程，再转化为y关于x的回归方程；
（III）求出利润z关于年宣传费x的函数，根据回归方程计算销售量和利润，利用二次函数的性质求出利润的极大值点．

解答 解：（Ⅰ）由散点图可以判断y=c+d$\sqrt{x}$适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型
（Ⅱ）令w=$\sqrt{x}$，先建立y关于w的线性回归方程，由于d=$\sum_{1}^{8}$$\frac{（{w}_{i}-\overline{w}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{8}（{w}_{i}-\overline{w}）^{2}}$=$\frac{108.8}{1.6}$=68，∴c=$\overline{y}$-d$\overline{w}$=563-68×6.8=100.6+68w，
∴y关于w的线性方程为y=100.6+68w，
∴y关于x的线性方程为y=100.6+68$\sqrt{x}$
（Ⅲ）（ⅰ）当x=49时，年销售量y的预报值y=100.6+68$\sqrt{49}$=576.6，
z=576.6×0.2-49=66.32．
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值z=0.2（100.6+68$\sqrt{x}$）-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12，
∴当$\sqrt{x}$=$\frac{13.6}{2}$=6.8，即x=46.24时，z取得最大值．
故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大．

点评 本题考查了线性回归方程的求解及数值预测，函数的最值，属于中档题．