Question

9．已知数列a_n=2n-1，求{a_n}的前n项和S_n=n²，求$\left\{{{a_{2^n}}}\right\}$的前n项和 S′_n=2ⁿ⁺²-n-4．

Answer 1

分析 由题意：数列a_n=2n-1，则a_n+1-a_n=2（n+1）-1-（2n-1）=2（常数），说明{a_n}是首项为1，公差d=2的等差数列．数列{a_n}的前n项和即可求．由a_n=2n-1，则$\left\{{{a_{2^n}}}\right\}$的通项a_n=2（2ⁿ）-1=2ⁿ⁺¹-1，即可求前n项和．

解答 解：由题意：数列a_n=2n-1，则a_n+1-a_n=2（n+1）-1-（2n-1）=2（常数），
∴{a_n}是首项为1，公差d=2的等差数列．
∴${S}_{n}=\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=n²．
由a_n=2n-1，则$\left\{{{a_{2^n}}}\right\}$的通项a_n=2•2ⁿ-1
那么：前n项和S′_n=a₁+a₂+…+a_n
=2•（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n，
=2ⁿ⁺²-n-4
故答案为S_n=n²，S′_n=2ⁿ⁺²-n-4．

点评 本题考查了等差数列的证明和前n项和公式的运用以及分组求和法求数列的前n项和．属于中档题．