Question

5．已知函数f（x）=sin（x+θ）+mcos（x+2θ），其中m∈R，θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．若f（$\frac{π}{2}$）=0，f（π）=1
（1）求m，θ的值；
（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）=-$\frac{1}{2}$，a=1，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由f（$\frac{π}{2}$）=0，f（π）=1，结合θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．可以得到m=-1，θ=-$\frac{π}{6}$．
（2）由（1）得到f（x）解析式，由此得到A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理得到bc≤1，当b=c=1时等号成立，所以可以得到△ABC的面积的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（x+θ）+mcos（x+2θ），
f（$\frac{π}{2}$）=0=sin（$\frac{π}{2}$+θ）+mcos（$\frac{π}{2}$+2θ）=cosθ-msin2θ=cosθ（1-2msinθ），
∵θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．∴cosθ≠0，∴2msinθ=1，
∵f（π）=1=sin（π+θ）+mcos（π+2θ）=-sinθ-mcos2θ，
∴-sinθ-m+2msin²θ=1，解得m=-1，
∴sinθ=-$\frac{1}{2}$，∵θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．∴θ=-$\frac{π}{6}$．
（2）由（1）得：f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$）+mcos（x-$\frac{π}{3}$）=-cosx，
∴f（A）=-$\frac{1}{2}$=-cosA，A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴1=b²+c²-bc≥bc
∴bc≤1，当b=c=1时等号成立．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$
∴当b=c=1时，△ABC的面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查未知量的求解以及余弦定理和基本不等式．