Question

4．定义H_n=$\frac{{a}_{1}+2{a}_{2}+…+{2}^{n-1}{a}_{n}}{n}$为数列{a_n}的均值，已知数列{b_n}的均值${H}_{n}{=2}^{n+1}$，记数列{b_n-kn}的前n项和是S_n，若S_n≤S₅对于任意的正整数n恒成立，则实数k的取值范围是[$\frac{7}{3}$，$\frac{12}{5}$]．

Answer 1

分析 由题意，b₁+2b₂+…+2^n-1b_n=n•2ⁿ⁺¹，b₁+2b₂+…+2^n-2b_n-1=（n-1）•2ⁿ，从而求出b_n=2（n+1），可得数列{b_n-kn}为等差数列，从而将S_n≤S₅对任意的n（n∈N^*）恒成立化为b₅≥0，b₆≤0；从而求解．

解答 解：由题意，
H_n=$\frac{{b}_{1}+2{b}_{2}+…+{2}^{n-1}{b}_{n}}{n}$=2ⁿ⁺¹，
则b₁+2b₂+…+2^n-1b_n=n•2ⁿ⁺¹，
b₁+2b₂+…+2^n-2b_n-1=（n-1）•2ⁿ，
则2^n-1b_n=n•2ⁿ⁺¹-（n-1）•2ⁿ
=（n+1）•2ⁿ，
则b_n=2（n+1），
对b₁也成立，
故b_n=2（n+1），
则b_n-kn=（2-k）n+2，
则数列{b_n-kn}为等差数列，
故S_n≤S₅对任意的n（n∈N^*）恒成立可化为：
b₅≥0，b₆≤0；
即$\left\{\begin{array}{l}{5（2-k）+2≥0}\\{6（2-k）+2≤0}\end{array}\right.$，
解得，$\frac{7}{3}$≤k≤$\frac{12}{5}$，
故答案为：[$\frac{7}{3}$，$\frac{12}{5}$]．

点评 本题考查了新定义的理解和运用，考查等差数列的前n项和的最值及数列的通项公式的求法的问题，考查推理和运算能力，属于中档题．