Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax+1，x≤0}\\{lo{g}_{3}x，x＞0}\end{array}\right.$，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数是（　　）

• A． 当a＞0时，函数F（x）有2个零点
• B． 当a＞0时，函数F（x）有4个零点
• C． 当a＜0时，函数F（x）有2个零点
• D． 当a＜0时，函数F（x）有3个零点

Answer 1

分析 讨论a，再由分段函数分别代入求方程的解的个数，从而确定函数的零点的个数即可．

解答 解：当a＞0时，由af（x）+1+1=0得，
f（x）=-$\frac{2}{a}$＜0，
故ax+1=-$\frac{2}{a}$或log₃x=-$\frac{2}{a}$，
故有两个不同的解，
由log₃f（x）+1=0得，
f（x）=$\frac{1}{3}$，
故ax+1=$\frac{1}{3}$或log₃x=$\frac{1}{3}$，
故有两个不同的解，
故共有四个解，
即函数有4个零点；
当a＜0时，af（x）+1+1=0无解，
由log₃f（x）+1=0得，
f（x）=$\frac{1}{3}$，
故ax+1=$\frac{1}{3}$（无解）或log₃x=$\frac{1}{3}$，
故有一个解，
故共有一个解，
故选B．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及方程的根与函数的零点的关系应用．