Question

11．已知函数f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx-1．
（1）当a=2时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a＞0，且对x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，即可求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）问题转化为a＞x（1-lnx）对x∈（0，2e]恒成立．，求出右边的最大值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）a=2时，$f（x）=\frac{2}{x}+lnx-1$，所以$f'（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}$，
则f'（1）=-1，又f（1）=1，
所以切线方程为y-1=-（x-1），即x+y-2=0．
（2）因为a＞0，且对x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，
即$\frac{a}{x}+lnx-1＞0$对x∈（0，2e]很成立，所以a＞x（1-lnx）对x∈（0，2e]恒成立．
设g（x）=x（1-lnx）=x-xlnx，x∈（0，2e]，
则g'（x）=1-lnx-1=-lnx，
当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）为增函数；
当1＜x≤e时，g'（x）＜0，g（x）为减函数；
所以g（x）_max=g（1）=1-ln1=1，
则实数a的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查构造法的运用，属于中档题．