Question

3．设a₀为常数，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N₊），求a_n．

Answer 1

分析 通过对a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N₊）变形、整理可构造等比数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$-$\frac{3}{5}$}，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N₊），
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=1-$\frac{2}{3}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-2}}$（n∈N₊），
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$-$\frac{3}{5}$=-$\frac{2}{3}$（$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-2}}$-$\frac{3}{5}$），
又∵a₀为常数，即$\frac{{a}_{1}}{{3}^{1-1}}$-$\frac{3}{5}$=-$\frac{2}{3}$（3a₀-$\frac{3}{5}$），
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$-$\frac{3}{5}$}是首项为-$\frac{2}{3}$（3a₀-$\frac{3}{5}$）、公比为-$\frac{2}{3}$的等比数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$-$\frac{3}{5}$=-$\frac{2}{3}$（3a₀-$\frac{3}{5}$）$（-\frac{2}{3}）^{n-1}$=（3a₀-$\frac{3}{5}$）$（-\frac{2}{3}）^{n}$，
∴a_n=[$\frac{3}{5}$+（3a₀-$\frac{3}{5}$）$（-\frac{2}{3}）^{n}$]•3^n-1．

点评 本题考查数列的通项公式，考查运算求解能力，构造等比数列是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．