Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sin（$\frac{π}{2}$-x），$-\sqrt{3}cosx）$，$\overrightarrow{n}$=（sinx，cosx），f（x）=$\overrightarrow{m}$?$\overrightarrow{n}$．
（1）求f（x）的最大值和对称轴方程；
（2）讨论f（x）在$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$上的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积化简函数的解析式，两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求解对称轴方程以及函数的最值．
（2）利用（1）直接求解函数的单调区间即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos²x=cosxsinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2x）
=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x=sin（2x-\frac{π}{3}）-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以最大值为$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，由2x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，所以对称轴 x=$\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$，k∈Z..…（6分）
（2）当x∈$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$时，$0≤2x-\frac{π}{3}≤π$，从而当$0≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}$，$即\frac{π}{6}≤x≤\frac{5π}{12}$时，
f（x）单调递增
当$\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤π，即\frac{5π}{12}≤x≤\frac{2π}{3}时$，f（x）单调递减
综上可知f（x）在$[\frac{π}{6}，\frac{5π}{12}]$上单调递增，在$[\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}]$上单调减..…（12分）

点评 本题考查三角函数的解析式的化简求法，向量的数量积的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力．