Question

19．已知数列{a_n}前n项和为S_n，若S_n=2a_n-2ⁿ，则S_n=n•2ⁿ．

Answer 1

分析 由已知求出a₁=2，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}_{1}}{2}=1$，从而得到a_n=（n+1）•2^n-1，由此利用错位相减法能求出结果．

解答 解：∵数列{a_n}前n项和为S_n，${S_n}=2{a_n}-{2^n}$，
∴n=1时，S₁=a₁=2a₁-2，解得a₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（$2{a}_{n}-{2}^{n}$）-（2a_n-1-2^n-1），
整理，得：${a}_{n}-{2}^{n}$=2a_n-1-2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-1=\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}_{1}}{2}=1$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+（n-1）×$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}+\frac{1}{2}$，
∴a_n=（n+1）•2^n-1，
∴S_n=2×2⁰+3×2+4×2²+…+（n+1）•2^n-1，①
∴2S_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）•2ⁿ，②
①-②，得：-S_n=2+2+2²+…+2^n-1-（n+1）•2ⁿ
=2+$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n+1）•2ⁿ
=2-2+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ
=-n•2ⁿ．
∴${S_n}=n•{2^n}$．
故答案为：n•2ⁿ．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．