Question

13．如图，已知直线l₁：kx+y=0和直线l₂：kx+y+b=0（b＞0），射线OC的一个法向量为$\overrightarrow{n_3}$=（-k，1），点O为坐标原点，且k≥0，直线l₁和l₂之间的距离为2，点A、B分别是直线l₁、l₂上的动点，P（4，2），PM⊥l₁于点M，PN⊥OC于点N；
（1）若k=1，求|OM|+|ON|的值；
（2）若|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|=8，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值；
（3）若k=0，AB⊥l₂，且Q（-4，-4），试求|PA|+|AB|+|BQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）若k=1，则可得|OM|=$\sqrt{2}$．|ON|=3$\sqrt{2}$，进而得到|OM|+|ON|的值；
（2）若|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|=8，利用柯西不等式可得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$≤32；
（3）若k=0，AB⊥l₂，且Q（-4，-4），|PA|+|AB|+|BQ|=|BM|+|QB|+2，当且仅当B取点（0，-2）时，|BM|+|QB|取得最小值．

解答 解：（1）∵k=1．
∴射线OC的一个法向量为$\overrightarrow{n_3}$=（-1，1），
∴射线OC的斜率为1，射线OC的方程为：y=x（x≥0）．
∴|PN|=$\frac{|4-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，|OP|=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴|ON|=$\sqrt{|OP{|}^{2}-|PN{|}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
直线l₁：x+y=0，|PM|=$\frac{|4+2|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴|OM|=$\sqrt{|OP{|}^{2}-|PM{|}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴|OM|+|ON|=4$\sqrt{2}$．
（2）k≥0，b＞0，直线l₁和l₂之间的距离为2，
∴$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，化为：b²=4（k²+1）．
设A（m，-km），B（n，-kn-b）．
∵P（4，2），|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|=8，
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=（m+n-8，-km-kn-b-4），
则（m+n-8）²+（km+kn+b+4）²=64≥2（m-4）（n-4）+2（km+2）（kn+b+2），
$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（m-4）（n-4）+（-km-2）（-kn-b-2）
=（m-4）（n-4）+（km+2）（kn+b+2）≤32，
故$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值为32；
（3）k=0，直线l₁：y=0，直线l₂：y+2=0，如图所示．
作出点P关于直线y=-1的对称点M（4，-4），则|PA|=|BM|．
设B（x，-2）．
∴|PA|+|AB|+|BQ|=|BM|+|QB|+2
=$\sqrt{（x+4）^{2}+4}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+4}$+2，
同理由对称性可得：当且仅当B取点（0，-2）时，
|BM|+|QB|取得最小值2$\sqrt{20}$=4$\sqrt{5}$．
∴|PA|+|AB|+|BQ|的最小值为4$\sqrt{5}$+2．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列通项公式、“裂项求和方法”、数列单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．