Question

15．已知数列f（x₁），f（x₂），…f（x_n），…是公差为2的等差数列，且x₁=a²其中函数f（x）=log_ax（a为常数且a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a_n=log_ax_n，求证$\frac{4}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{4}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得f（x₁）=$lo{g}_{a}{a}^{2}$=2，利用等差数列的通项公式与对数的运算性质即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：a_n=2n，可得$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．再利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可证明．

解答 （Ⅰ）解：∵f（x₁）=$lo{g}_{a}{a}^{2}$=2，公差d=2．
∴f（x_n）=2+2（n-1）=2n，
∴log_ax_n=2n，解得x_n=a²ⁿ．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得：a_n=log_ax_n=2n，
∴$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{4}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{4}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．