Question

6．已知椭圆$\frac{x^2}{9-m}+\frac{y^2}{m-3}$=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在该椭圆上．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若m=5，且|PF₁|=3，求点P到x轴的距离．

Answer 1

分析 （1）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{9-m＞0}\\{m-3＞0}\\{9-m≠m-3}\end{array}\right.$，即可求实数m的取值范围；
（2）求出|PF₂|=1，|F₁F₂|=2$\sqrt{2}$，可得|PF₁|²=|PF₂|²+|F₁F₂|²，即可求点P到x轴的距离．

解答 解：（1）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{9-m＞0}\\{m-3＞0}\\{9-m≠m-3}\end{array}\right.$，∴3＜m＜9且m≠6；
（2）m=5，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，∴a=2，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$
∵|PF₁|=3，∴|PF₂|=1，
∵|F₁F₂|=2$\sqrt{2}$，
∴|PF₁|²=|PF₂|²+|F₁F₂|²，
∴P到x轴的距离为1．

点评 本题考查椭圆的方程与定义，考查学生的计算能力，属于中档题．