Question

19．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则AC与平面BDC₁所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 由于A₁C⊥平面BDC₁，故$\overrightarrow{{A}_{1}C}$是平面BDC₁的一个法向量，建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$的坐标，设所求的线面角为α，则sinα=cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}C}$，$\overrightarrow{AC}$＞，从而计算出cosα．

解答 解：以A₁为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
∵A₁A⊥平面ABCD，∴A₁A⊥BD，
又BD⊥AC，A₁A与AC为平面A₁AC内的相交直线，
∴BD⊥平面A₁AC，
∴BD⊥A₁C，
同理可证：BC₁⊥A₁C，
∴A₁C⊥平面BDC₁，∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}$是平面BDC₁的一个法向量，
设正方体棱长为1，
则$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（1，1，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{AC}$=2，|$\overrightarrow{{A}_{1}C}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}C}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
设AC与平面BDC₁所成角为α，则sinα=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴cosα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了线面角的计算，正方体的结构特征，属于中档题．