Question

5．已知sinA+sinB+sinC=0，cosA+cosB+cosC=0，求证：cos²A+cos²B+cos²C=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，利用同角的三角函数关系和两角和与差的公式，求出cos（B-C）=-$\frac{1}{2}$，
再求出cos2A+cos2B+cos2C=0，利用降幂公式即可求出cos²A+cos²B+cos²C的值．

解答 证明：由sinA=-（sinB+sinC），cosA=-（cosB+cosC），
sin²A+cos²A=1，
∴（sinB+sinC）²+（cosB+cosC）²=1，
sin²B+2sinBsinC+sin²C+cos²B+2cosBcosC+cos²C=1，
2+2cos（B-C）=1
即cos（B-C）=-$\frac{1}{2}$，
∴cos2A+cos2B+cos2C=2cos²A-1+cos2B+cos2C，
=2cos²B+2cos²C-1+4cosBcosC+cos2B+cos2C，
=2cos2B+2cos2C+4cosBcosC+1，
=4cos（B+C）cos（B-C）+2[cos（B+C）+cos（B-C）]+1，
=-2cos（B+C）+2cos（B+C）-1+1，
=0；
∴cos²A+cos²B+cos²C=$\frac{1+cos2A}{2}$+$\frac{1+cos2B}{2}$+$\frac{1+cos2C}{2}$
=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$（cos2B+cos2B+cos2C）=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查同角的基本关系，两角和差的正余弦公式及二倍角公式，证明过程复杂，需要敏锐的观察能力，属于中档题．