题目内容

已知f（x）=a（x+2a）（x-a-3），g（x）=2^-x-2，同时满足以下两个条件：
①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②?x∈（1，+∞），f（x）•g（x）＜0成立，
则实数a的取值范围是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：由①可得当x＜-1时，f（x）＜0，根据②可得当x＞1时，函数f（x）在x轴的上方有图象，故有 $\text{[math]}$ ，由此解得实数a的取值范围．
解答：

解：∵已知f（x）=a（x+2a）（x-a-3），g（x）=2^-x-2，
根据①?x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．
由g（x）＜0，求得x＞-1，即当x＞-1时，g（x）＜0；当x＜-1时，g（x）＞0．
故当x＜-1时，f（x）＜0．
根据②?x∈（1，+∞），f（x）•g（x）＜0成立，而当x＞1时，g（x）=2^-x-2＜0，
故f（x）=a（x+2a）（x-a-3）＞0在（1，+∞）上有解，即当x＞1时，函数f（x）在x轴的上方有图象，
故函数f（x）和函数g（x）的图象如图所示：
综合以上，故有 $\text{[math]}$ ，解得-4＜a＜-2，或- $\text{[math]}$ ＜a＜0，
故选 C．
点评：本题主要考查二次函数的性质，指数函数的图象和性质，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．

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（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若 $数学公式$ ，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间 $数学公式$ 上的值域为 $数学公式$ ，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

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，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间

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