Question

10．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
（2）若直线x=-t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据导函数的解析式设出原函数的解析式，根据有两个相等的实根可得f（x）=x²+2x+1，根据定积分的定义可得答案．
（2）利用定积分求面积，即可求t的值．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，则f′（x）=2ax+b，
又已知f′（x）=2x+2
∴a=1，b=2．
∴f（x）=x²+2x+c
又方程f（x）=0有两个相等实根，
∴判别式△=4-4c=0，即c=1．
故f（x）=x²+2x+1．
依题意，所求面积=${∫}_{-1}^{0}$（x²+2x+1）dx=（$\frac{1}{3}$x³+x²+x）${|}_{-1}^{0}$=$\frac{1}{3}$
故y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积为$\frac{1}{3}$．
（2）${∫}_{-t}^{0}$（x²+2x+1）dx=${∫}_{-1}^{-t}$（x²+2x+1）dx，
∴（$\frac{1}{3}$x³+x²+x）${|}_{-t}^{0}$=（$\frac{1}{3}$x³+x²+x）${|}_{-1}^{-t}$
∴2（$\frac{1}{3}$t³-t²+t）=$\frac{1}{3}$，
∴（t-1）³=-$\frac{1}{2}$
∴t=1-$\root{3}{\frac{1}{2}}$．

点评 本题主要考查导数的逆运算和定积分在求面积中的应用．属中档题．