Question

18．已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x）=f（x+2）恒成立，当x∈（-2，0）时，f（x）=x³-x，则当x∈（2，3）时，函数f（x）的解析式为f（x）=x³-12x²+47x-12 （2＜x＜3）．

Answer 1

分析 由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈（2，3）时，则x-4∈（-2，-1），根据 f（x）=f（x-4），求得f（x）的解析式．

解答 解：由f（x）=f（x+2）恒成立，可得函数f（x）的周期为2，∵当x∈（-2，0）时，f（x）=x³-x，
则当x∈（2，3）时，则x-4∈（-2，-1）⊆（-2，0），
∴f（x）=f（x-4）=（x-4）³-（x-4）=x³-12x²+47x-12，
即当x∈（2，3）时，函数f（x）的解析式为f（x）=x³-12x²+47x-12，
故答案为：f（x）=x³-12x²+47x-12（2＜x＜3）．

点评 本题主要考查求函数的解析式的方法，函数的周期性，属于基础题．