Question

12．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；
（2）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）点P的极坐标为（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），利用互化公式可得直角坐标P．曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），利用平方关系可得普通方程．
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数），代入椭圆方程可得：7t²+12t-4=0．利用根与系数的关系可得|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$．

解答 解：（1）点P的极坐标为（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），可得直角坐标P$（0，\sqrt{3}）$．
曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
利用平方关系可得：$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}$=1．
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数），代入椭圆方程可得：7t²+12t-4=0．
∴t₁+t₂=-$\frac{12}{7}$，t₁•t₂=-$\frac{4}{7}$，
∴|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{12}{7}）^{2}-4×（-\frac{4}{7}）}$=$\frac{16}{7}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．