Question

7．已知数列a_n=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}，n=1}\\{{3^n}，n≥2}\end{array}}$，记数列{a_n}的前n项和为T_n，若对任意的n∈N^*都有T_n•k≥3n-6恒成立，则实数k的取值范围k≥$\frac{2}{27}$．

Answer 1

分析 根据等比数列的前n项和公式得到T_n，分离参数，设c_n=$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$，利用作差确定数列{c_n}的单调性，求出数列的最大值即可

解答 解：当n=1时，T_n=$\frac{9}{2}$，
当n≥2时，T_n=a₁+a₂+…+a_n=$\frac{9}{2}$+$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$=$\frac{1}{2}$×3ⁿ⁺¹，
∵对任意的n∈N^*都有T_n•k≥3n-6恒成立，
∴$\frac{1}{2}$×3ⁿ⁺¹•k≥3n-6，
∴k≥$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$，
设c_n=$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$，
则c_n+1-c_n=$\frac{2（n+1）-4}{{3}^{n+1}}$-$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$=$\frac{2（5-2n）}{{3}^{n+1}}$
当n≤2时，c_n+1＞c_n，当n≥3时，c_n+1＜c_n，
∴c_n的最大项是c₃=$\frac{2}{27}$，
∴k≥$\frac{2}{27}$，
故答案为：k≥$\frac{2}{27}$

点评 本题考查了a_n与T_n的关系，以及等比数列的前n项和公式，数列的恒成立转化为求数列的最大项问题，通过作差研究数列的单调性也是常用的方法，难度较大，一定要注意n的取值范围．