Question

13．已知复数z=x+yi（x，y∈R），满足|z|=$\sqrt{2}$，z²的虚部是2，z对应的点A在第一象限．
（1）求z；
（2）若z，z²，z-z²在复平面上对应点分别为A，B，C．求cos∠ABC．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件列出方程组求解即可．
（2）求出复数的对应点的坐标，然后通过三角形求解即可．

解答 解：（1）复数z=x+yi（x，y∈R），满足|z|=$\sqrt{2}$，z²的虚部是2，z对应的点A在第一象限，
可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\\{2xy=2}\end{array}\right.$，解得：x=y=1．
z=1+i．
（2）z，z²，z-z²在复平面上对应点分别为A，B，C．
A（1，1），B（0，2），C（1，-1），
cos∠ABC=$\frac{3}{|BC|}$=$\frac{3}{\sqrt{（0-1）^{2}+（2+1）^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查复数的几何意义，三角形的解法，考查转化思想的应用以及计算能力．