Question

13．已知函数f（x）=x1nx-x+1．
（I）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数g（x）=af（x）-$\frac{1}{2}$x²（α∈R）在其定义域内有两个不同的极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记两个极值点分别为x₁，x₂．且x₁＜x₂，若不等式a＜mx₁+（1-m）x₂（m＞0）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），由导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式方程求出切线方程；
（Ⅱ）化简g（x）的解析式求出g′（x），由条件可得g′（x）=0有两个不同的正根，求出g″（x）后利用导数与函数的关系，求出g′（x）的单调区间和最大值，列出不等式求出a的范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）和条件判断出x₁＜a＜x₂，对m进行分类讨论，分别利用不等式的性质，判断出式子与x₁、x₂的大小关系，即可得到答案．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）=1nx+x×$\frac{1}{x}$-1=lnx，
则f′（1）=0，且f（1）=0，
即在点（1，f（1））处的切线方程是y=0；
（Ⅱ）g（x）=af（x）-$\frac{1}{2}$x²=a（xlnx-x+1）-$\frac{1}{2}$x²，
则x＞0，g′（x）=alnx-x，
因为函数g（x）在定义域内有两个不同的极值点，
所以g′（x）=alnx-x=0有两个不同的正根，
g″（x）=$\frac{a}{x}-1$=$\frac{a-x}{x}$，由g″（x）=0得x=a＞0，
当x∈（0，a）时，g″（x）＞0，则g′（x）在（0，a）上递增，
当x∈（a，+∞）时，g″（x）＜0，则g′（x）在（a，+∞）上递减，
所以g′（x）=alnx-x的最大值是g′（a），
因为g′（x）=alnx-x=0有两个不同的正根，
则g′（a）=alna-a＞0，即lna＞1，解得a＞e，
所以a的取值范围是（e，+∞）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）和条件得，
g′（x）=alnx-x=0有两个不同的正根分别是x₁，x₂，
且x₁＜x₂，且x₁＜a＜x₂，
①当m∈（0，1）时，有1-m＞0，
∵mx₁+（1-m）x₂＞mx₁+（1-m）x₁=x₁，
mx₁+（1-m）x₂＜mx₂+（1-m）x₂=x₂，
得mx₁+（1-m）x₂∈（x₁，x₂），符合条件；
②当m≥1时，1-m≤0，
∵mx₁+（1-m）x₂≤mx₁+（1-m）x₁=x₁，
mx₁+（1-m）x₂≤mx₂+（1-m）x₂=x₂，
可得mx₁+（1-m）x₂≤x₁，与条件不符，
∴综合①②得 m∈（0，1）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和函数的单调区间、极值，不等式的性质的应用，以及不等式恒成立问题，属于难题．