Question

1．已知函数f（x）=-x³+ax²+1，（a∈R）．
（1）若f（x）图象上横坐标为1的点处存在垂直于y轴的切线，求a的值；
（2）若f（x）在区间（-1，2）内有两个不同的极值点，求a取值范围；
（3）当a=1时，是否存在实数m，使得函数g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的图象于函数f（x）的图象恰有三个不同的交点，若存在，试求出实数m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，再由f′（1）=0求解a．
（2）将“f（x）在区间（-1，2）内有两个不同的极值点”转化为“方程f′（x）=0在区间（-1，2）内有两个不同的实根”，用△＞0求解．
（3）a=1，“要使函数f（x）与g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的图象恰有三个交点”即为“方程x²（x²-4x+1m）=0恰有三个不同的实根”．因为x=0是一个根，所以方程x²-4x+1-m=0应有两个非零的不等实根，再用判别式求解．

解答 解：（1）依题意，f′（1）=0
∵f′（x）=-3x²+2ax
-3（1）²+2•a•1=0，
∴a=$\frac{3}{2}$；
（2）若f（x）在区间（-1，2）内有两个不同的极值点，
则方程f′（x）=-3x²+2ax=0在区间（-1，2）内有两个不同的实根，
∴△＞0，f′（-1）＜0，f′（2）＜0，-1＜$\frac{a}{3}$＜2，
解得：-$\frac{3}{2}$＜a＜3且a≠0
但a=0时，f（x）=-x³+1无极值点，
∴a的取值范围为（-$\frac{3}{2}$，0）∪（0，3）；
（3）a=1时，f（x）=-x³+x²+1，
要使函数f（x）与g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的图象恰有三个交点，
等价于方程-x³+x²+1=x⁴-5x³+（2-m）x²+1，
即方程x²（x²-4x+1-m）=0恰有三个不同的实根．
∵x=0是一个根，
∴应使方程x²-4x+1-m=0有两个非零的不等实根，
由△=16-4（1-m）＞0，1-m≠0，解得m＞-3，m≠1，
∴存在m∈（-3，1）∪（1，+∞），
使用函数f（x）与g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的图象恰有三个交点．

点评 本题主要考查函数与方程的综合运用，主要涉及了方程的根与函数的零点间的转化．还考查了计算能力和综合运用知识的能力．