Question

3．已知函数f（x）=2ax-asinx+cosx在（-∞，+∞）内单调递减，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• B． （-∞，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]
• C． （-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• D． （-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，得到|$\frac{2y}{\sqrt{1{+y}^{2}}}$|≤1，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：f′（x）=2a-acosx-sinx，
由f′（x）≤0得，a≤$\frac{sinx}{2-cosx}$，
令y=$\frac{sinx}{2-cosx}$，则2y-ycosx=sinx，
∴2y=$\sqrt{1{+y}^{2}}$sin（x+θ），
∴sin（x+θ）=$\frac{2y}{\sqrt{1{+y}^{2}}}$，
∵|sin（x+θ）|≤1，
∴|$\frac{2y}{\sqrt{1{+y}^{2}}}$|≤1，解得：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤y≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵函数f（x）在R递减，
∴a≤y_min=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．