题目内容

在梯形ABCD中，
AB
=2
DC
，
.
BC
 
.
=6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足
AP
+
BP
+4
DP
=
0
，
DA
•
CB
=
.
DA
 
.
•
.
DP
 
.
，Q为边AD上的一个动点，则
.
PQ
 
.
的最小值为
 
．
考点：向量的加法及其几何意义
专题：平面向量及应用
分析：画图，根据向量的几何意义和
AP
+
BP
+4
DP
=
0
，可求出|
DP
|=2，|
PE
|=4，设∠ADP=θ，根据
DA
•
CB
=
.
DA
 
.
•
.
DP
 
.
，求出cosθ，继而求出sinθ，再根据射影定理得到
.
PQ
 
.
的最小值
解答： 解：取AB的中点，连接PE，
∵
AB
=2
DC
，
∴
AB
=2
EB
，
∴
DC
=
EB
，
∴四边形DEBC为平行四边形，
∴
DE
=
CB
，
∵
AP
+
BP
=-2
PE
，
AP
+
BP
+4
DP
=
0
，
∴
PE
=2
DP
，
∵
.
BC
 
.
=6，
∴|
DP
|=2，|
PE
|=4，
设∠ADP=θ，
∵
DA
•
CB
=
.
DA
 
.
•
.
DP
 
.
，
∴
DA
•
CB
=|
DA
||
CB
|cosθ=
.
DA
 
.
•
.
DP
 
.
，
∴cosθ=
1
3
，
∴sinθ=
2
2
3
，
当PQ⊥AP时，
.
PQ
 
.
最小，
∴
.
PQ
 
.
=|DP|sinθ|=2×
2
2
3
=
4
2
3

故答案为：
4
2
3
点评：本题考查了向量的几何意义以及向量的夹角公式，以及射影定理，属于中档题
练习册系列答案
相关题目
如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C是菱形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．
（Ⅰ）求证：BC∥平面AB1C1；
（Ⅱ）求证：B1C⊥AC1；
（Ⅲ）设点E，F，H，G分别是B1C，AA1，A1B1，B1C1的中点，试判断E，F，H，G四点是否共面，并说明理由．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=
1
2
AD=1，CD=
3
．
（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMQ；
（Ⅱ）求证：若二面角M-BQ-C为30°，试求
PM
PC
的值．
如图，己知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0）的离心率e=
2
2
，左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4
2
x的焦点恰好是该椭圆的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若斜率为k（k≠0）的直线与x轴、椭圆顺次交于A（2，0）、M、N三点．求证∠NF2F1=∠MF2A．
已知抛物线的顶点坐标为原点，对称轴为x轴，且与圆x2+y2=16相交的公共弦长等于4
3
，则这个抛物线的方程为
 
．
已知点P（3，m）在直线x+y-1=0上，则m的值为（　　）
A、5B、2C、-2D、-6
设a，b均为正数，则函数f（x）=（a2+b2）x+ab的零点的最小值为
 
．
过点P（3，5）且与圆（x-2）2+（y-3）2=1相切的切线方程是
 
．
湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个半径为6cm，深2cm的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（　　）
A、20cmB、18cm
C、10cmD、8cm

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