Question

10．已知函数f（x）=log₂$\frac{1-x}{1+x}$
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）若f（3m+1）＜f（m），求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）为奇函数，结合对数的运算性质和奇偶性的定义，可得答案．
（2）根据复合函数的单调性“同增异减”的原则，可得f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，则f（3m+1）＜f（m）可化为：-1＜m＜3m+1＜1，解得答案．

解答 解：（1）f（x）为奇函数，-----------------------（1分）
证明如下：
因为，定义域为（-1，1）关于原点对称---------------------（3分）
f（-x）=${log}_{2}\frac{1+x}{1-x}$，
∴f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），
故f（x）为奇函数-----------------（6分）
（2）令u=$\frac{1-x}{1+x}$=$\frac{2}{1+x}$-1为（-1，1）上的减函数，--------------------（8分）
由复合函数的单调性可知f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，---------------（9分）
所以f（3m+1）＜f（m）可化为：-1＜m＜3m+1＜1，
解得：$-\frac{1}{2}$＜m＜0------------------（12分）

点评 本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的奇偶性，对数函数的图象和性质，难度中档．