Question

4．已知函数f（x）在R上满足f（-x）+f（x）=0，且x＞0时，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+sinα|+|x+2sinα|）+$\frac{3}{2}$sinα（-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{3π}{2}$）对任意的x∈R，都有f（x-3$\sqrt{3}$）≤f（x）恒成立，则实数α的取值范围为（　　）

• A． [0，π]
• B． [-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
• C． [-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
• D． [-$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]

Answer 1

分析 设t=sinα，讨论t的取值，把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对x∈R，都有f（x-3$\sqrt{3}$）≤f（x），可得-6t≤3$\sqrt{3}$，求解该不等式可得答案．

解答 解：设t=sinα，则t∈[-1，1]；
当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+t|+|x+2t|）+$\frac{3}{2}$t，
若t≥0，则当x＞0时，f（x）=x+3t，
当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-（-x+3t）=x-3t，
由f（x-3$\sqrt{3}$）≤f（x）恒成立，可得y=f（x）的图象恒在y=f（x-3$\sqrt{3}$）的图象上方，
则sinα≥0；
当t＜0时，当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x≤-t}\\{t，-t＜x＜-2t}\\{x+3t，x≥-2t}\end{array}\right.$，
由f（x）=x+3t，x≥-2t，得f（x）≥t；
当-t＜x＜-2t时，f（x）=t；
由f（x）=-x，0≤x≤-t，得f（x）≥t．
∴当x＞0时，f（x）_min=t．
∵函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，f（x）_max=-t．
∵对x∈R，都有f（x-3$\sqrt{3}$）≤f（x），
∴-3t-3t≤3$\sqrt{3}$，解得t≥-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
综上可得sinα≥-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得-$\frac{π}{3}$+2kπ≤α≤2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z．
又α∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，∴α∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]．
故选：D．

点评 本题考查了函数奇偶性、周期性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．