Question

17．已知f（x）=2sin²x+2sinxcosx，则f（x）的最小正周期和一个单调减区间分别为（　　）

• A． 2π，[$\frac{3π}{8}$，$\frac{7π}{8}$]
• B． π，[$\frac{3π}{8}$，$\frac{7π}{8}$]
• C． 2π，[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]
• D． π，[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]

Answer 1

分析 将f（x）化简，结合三角函数的性质求解即可．

解答 解：由f（x）=2sin²x+2sinxcosx=sin2x-cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$单调递减，
解得：$\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{7π}{8}+kπ$，（k∈Z）
当k=0时，得f（x）的一个单调减区间[$\frac{3π}{8}$，$\frac{7π}{8}$]．
故选B．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．