Question

5．在三棱锥P-ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P-ABC的体积为20，Q是BC的中点，求异面直线PB，AQ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析 由三棱锥P-ABC的体积为20，得PA=4，取PC的中点为D，连结AD，DQ，则∠AQD为异面直线PB，AQ所成的角，由此能求出异面直线PB，AQ所成的角．

解答 解：∵在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P-ABC的体积为20，
∴$V=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×5×6PA=20$，解得PA=4，（3分）
取PC的中点为D，连结AD，DQ，
则∠AQD为异面直线PB，AQ所成的角，（5分）
$PD=3，QD=\frac{5}{2}$，DA=5，（7分）
∵QD⊥平面PAC，∴QD⊥AD，（9分）
∴tan∠AQD=2，
∴异面直线PB，AQ所成的角为arctan2．（12分）

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间能力的培养．