Question

12．已知α∈（-$\frac{π}{2}$，0），且cos2α=sin（α-$\frac{π}{2}}$），则tan$\frac{α}{2}$等于$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知利用诱导公式，倍角公式可得2cos²α+cosα-1=0，结合α的范围，可求cosα，进而可求α的值，利用特殊角的三角函数值即可计算求值得解．

解答 解：由$cos2α=sin（{α-\frac{π}{2}}）$，
有2cos²α+cosα-1=0，
而$α∈（{-\frac{π}{2}，0}）$，
解得$cosα=\frac{1}{2}$，得$α=-\frac{π}{3}$，
故$tan\frac{α}{2}=tan（{-\frac{π}{6}}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
故答案为：$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，倍角公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．