Question

已知(

x

-

2

x2

)n（n∈N^*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．
（1）求展开式中各项系数的和；     
（2）求展开式中含x

3

2

的项．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出第五项的系数与第三项的系数，根据已知条件列出方程，求出n的值，将n的值代入二项式，给二项式中的x赋值1，求出展开式中各项系数的和．
（2）令二项展开式的通项中的x的指数为

3

2

，求出r的值，将r的值代入通项求出展开式中含x

3

2

的项．

解答：解：由题意知，展开式的通项为
Tr+1=

C

r n

(-2)rx

n-5r

2

则第五项系数为C_n⁴•（-2）⁴，第三项的系数为C_n²•（-2）²
则有

16 C 4 n

4 C 2 n

=

10

1

，化简，得n²-5n-24=0
解得n=8或n=-3（舍去）        
（1）令x=1，得各项系数的和为（1-2）⁸=1    
（2）令

8-r

2

-2r=

3

2

，则r=1
故展开式中含x

3

2

的项为T2=-16x

3

2

点评：求二项展开式的特定项问题一般借助的工具是二项展开式的通项公式；求二项展开式的各项系数和问题，一般通过观察，通过赋值的方法来解决．