题目内容
对于数列{an}，我们把a1+a2+…+an+…称为级数，设数列{an}的前n项和为Sn，如果| lim |
| n→∞ |
①1+r+r2+…+rn-1+…；②
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| n2+n |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 32 |
| n |
| 3n-1 |
分析：由题意对于数列{an}，我们把a1+a2+…+an+…称为级数，设数列{an}的前n项和为Sn，如果
Sn存在，，那么级数a1+a2+…+an+…是收敛的，有收敛的定义可知，只需判断一下3个数列的前n项和的极限存在即可．
| lim |
| n→∞ |
解答：解：对于①，由于r∈R，所以要讨论r的值再求前n项喝的极限，（1）当r=0时，此数列为常数列．所以极限存在为0，（2）当r=1时，此数列仍为常数列1，前n项和为n，此时不存在极限，所以①错；
对于②此数列的通项为
=
=
-
，此数列的前n项和记为：Sn=(1-
)+(
-
)+…+(
-
)=
，
所以
Sn=
=1，极限存在，故此数列收敛，所以②正确；
对于③此数列的通项为
=bn，次数列的前n项和为Tn= 1+
+
+… +
①
①×
得：
Tn=
+
+
+… +
②
利用错位相减法①-②得：
Tn=1+
+
+…+
-
?Tn=
-
• (
)n，所以
Tn=
[(
-
•(
)n]=
，极限存在，故此数列收敛，所以③正确．
故答案为：②③．
对于②此数列的通项为
| 1 |
| n2+n |
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| n |
| n+1 |
所以
| lim |
| n→∞ |
| lim |
| n→∞ |
| n |
| n+1 |
对于③此数列的通项为
| n |
| 3n-1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 32 |
| n |
| 3n-1 |
①×
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 32 |
| 3 |
| 33 |
| n |
| 3n |
利用错位相减法①-②得：
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 3n-1 |
| 1 |
| 3n |
| 9 |
| 4 |
| 13 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| lim |
| n→∞ |
| lim |
| n→∞ |
| 9 |
| 4 |
| 13 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 9 |
| 4 |
故答案为：②③．
点评：此题考查了学生对于新定义的理解及计算能力，数列的求和，数列求极限．
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；③
．