Question

15．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产，世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区--龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示．该景区自2015年春建成试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（表一）

年龄	频数	频率	男	女
[0，10）	10	0.1	5	5
[10，20）	①	②	③	④
[20，30）	25	0.25	12	13
[30，40）	20	0.2	10	10
[40，50）	10	0.1	6	4
[50，60）	10	0.1	3	7
[60，70）	5	0.05	1	4
[70，80）	3	0.03	1	2
[80，90）	2	0.02	0	2
合计	100	1.00	45	55

（1）完成表格一中的空位①-④，并在答题卡中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．
（2）完成表格二，并问你能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关？

	50岁以上	50岁以下	合计
男生
女生
合计

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：k²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）
（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含）的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）由频率分布表的性质能完成表（一），从而能完成频率分布直方图，进而求出30岁以下频率，以频率作为概率，估计2017年7月1日当日接待游客中30岁以下人数；
（2）完成表格，求出观测值K²，对照临界值表即可得出结论；
（3）由分层抽样原理，结合题意得出ξ的取值可能，计算相应的概率，写出ξ的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（1）完成表格一中的空位①-④，如下：

年龄	频数	频率	男	女
[0，10）	10	0.1	5	5
[10，20）	15	0.15	7	8
[20，30）	25	0.25	12	13
[30，40）	20	0.2	10	10
[40，50）	10	0.1	6	4
[50，60）	10	0.1	3	7
[60，70）	5	0.05	1	4
[70，80）	3	0.03	1	2
[80，90）	2	0.02	0	2
合计	100	1.00	45	55

完成频率分布直方图如下：

30岁以下频率为：0.1+0.15+0.25=0.5，
以频率作为概率，估计2017年7月1日当日接待游客中30岁以下人数为：
12000×0.5=6000；
（2）完成表格，如下：

	50岁以上	50岁以下	合计
男生	5	40	45
女生	15	40	55
合计	20	80	100

K²=$\frac{100{×（5×40-15×40）}^{2}}{20×80×45×55}$=$\frac{400}{99}$≈4.04＜5.024，
所以没有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关；
（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数：10×0.2=2人，50岁以下人数ξ的取值可能0，1，2；
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{28}{45}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{8}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{16}{45}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{45}$；
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{28}{45}$	$\frac{16}{45}$	$\frac{1}{45}$

数学期望为Eξ=0×$\frac{28}{45}$+1×$\frac{16}{45}$+2×$\frac{1}{45}$=$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了概率的求法问题，也考查了离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用问题，是中档题．