Question

19．已知曲线f（x）=e^x-$\frac{1}{e^x}$与直线y=kx有且仅有一个公共点，则实数k的最大值是（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由题意可得曲线和直线均过原点，判断f（x）为奇函数且在R上递增，当直线y=kx与曲线相切，切点为（0，0），求得切线的斜率为2，讨论k的变化，即可得到符合题意的k的最大值．

解答 解：由曲线f（x）=e^x-$\frac{1}{e^x}$与直线y=kx均过原点（0，0），
由f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x），
可得f（x）为奇函数，图象关于原点对称，
且f′（x）=e^x+e^-x＞0，f（x）在R上递增，
由题意可得f（x）与直线y=kx有且仅有交点为（0，0），
当直线y=kx与曲线相切，切点为（0，0），
切线的斜率为k=e⁰+e⁰=2，
当k＜0时，显然只有一个交点（0，0），
当0≤k≤2时，显然只有一个交点（0，0），
当k＞2时，有3个交点．
则符合条件的k的最大值为2．
故选：D．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查函数方程的转化思想以及数形结合的思想方法，属于中档题．